Voyage sur un grand cercle et le grand cercle mystérieux
Je ne connaissais pas mais c'est en regardant un reportage sur les grandes pyramides que j'ai su qu'en fait la grande pyramide de Giseh
le site du Machu-Picchu et l'ile de paques sont alignés sur un grand cercle de la terre
(un grand cercle d'une sphere ayant pour centre le centre de cette sphère) voilà ce qui m'a donné l'idée de ce fil
Un voyageur se déplace sur la terre le long d'un grand cercle de la terre (cercle dont le centre est le centre de la terre)
proposez sa position de départ qui est un point sur la terre que l'on nomme le point A
et un point quelconque de la terre que l'on nomme le point B sur laquelle il passerait s'il continue son voyage sans s'arrêter
(ormis le point situé aux antipode du premier, si c'est le cas je le préciserai)
en précisant la direction c'est à dire soit dans la direction du plus court chemin qui mène au point B soit dans la direction opposée)
et la quantitée de kilomètres que l'on nomme par la distance "d" qu'il a parcouru (on peut admettre qu'il fasse plusieurs fois le tour)
vous obtiendrez alors sa position (un point C) et la distance la plus courte (sur la terre) entre les deux points choisis A et B que l'on nomme D
par exemple un voyageur qui est situé au niveau de la pyramide de Gyseh
(coordonnées environ 29°58'30"N - 31°7'50"E)
et qui passera par le Macchu Picchu (coordonnées environ 13°9'50"S - 72°32'45"O)
ce voyageur sera donc situé sur ce grand cercle mystérieux qui passe par l'ile de Paques avec un angle de 30° par rapport à l'équateur
voici ici quelques exemples de lieux que vous pouvez proposer mais pas obligatoirement bien sûr
Ziggurat de Ur 30°57'45" N - 46°6'11"
ile de paques 27°07'S - 109°21'O
sinon posez vos propositions de "voyage" je vous donnerai la distance la plus courte entre vos deux points , les coordonnées ,
à quoi cela correspond géographiquement et enfin l'angle formé entre le grand cercle sur lequel le "voyage" par rapport à l'équateur
*à titre d'information je détaille ici les calculs mais ils ne sont pas necessaires pour participer au fil*
on peut utiliser une petite machine à calculer programmable pour obtenir les résultats rapidement
1)conventions
le rayon équatorial de la terre étant d'environ 6378KM
et le le rayon polaire de la terre étant d'environ 6357Km
pour les calculs je pose avec le rayon de la terre environ r = 6378KM
pour les calculs je prend PI=3.14159
on considere les notations
[x] pour un nombre positif x la notation [x] désigne la partie entière de x
{x} pour un nombre positif x la notation {x} désigne la partie parie fractionnaire de x
x^n pour un nombre positif x et un nombre positif n la notation x^n désigne x à la puissance n
x^-n pour un nombre positif x et un nombre positif n
la notation x^-n désigne l'inverse de x à la puissance n
de sorte que x^-n = 1 / x^n
la fonction racine carrée pour x positif on note \/( x ) sa racine carrée
les fonctions trigonométriques
sin(x) pour sinus de x
cos(x) pour cosinus de x
arccos(x) pour arc cosinus de x
2)transformations angulaires
transformation degrés en radians:
PI . x(degrés) / 180 = y(radians)
transformation minutes en radians:
PI . x(minutes) / 10800 = y(radians)
transformation secondes en radians:
PI . x(secondes) / 648000 = y(radians)
radians transformé en degré-minutes-secondes
y(radians) = x1(degrés) x2(minutes) x3(secondes)
[ 180 . y(radians) / PI ] = x1(degrés)
[ 60 . { 180 . y(radians) / PI } ] = x2(minutes)
[ 60 . { 60 . { 180 . y(radians) / PI } } ] = x3(secondes)
3)calculs géométriques
3a) valeurs p et q pour toute position d'un point sur la terre
pour toute position on attribue deux valeurs p et q
p dans l'intervalle de -PI/2 à PI/2
q dans l'intervalle de -PI à PI
déterminer p et q à partir des coordonnées d'un point
-lorsque le point est situé sur le pôle Nord on pose p = PI/2 et q = 0
-lorsque le point est situé sur le pôle Sud on pose p = -PI/2 et q = 0
-lorsque le point est situé sur la longitude 0° on pose q = 0
et on determine p en appliquant les formules de transformations angulaires à partir de la lattitude
-lorsque le point est situé sur la longitude 180° on pose q = PI
et on determine p en appliquant les formules de transformations angulaires à partir de la lattitude
-lorsque le point est situé au NORD l'angle définit par p sera positif sinon il sera négatif
-lorsque le point est situé à l'EST l'angle définit par q sera positif sinon il sera négatif
déterminer les coordonnées d'un point à partir de ses valeurs p et q
on détermine par la même occasion son point cardinal EST-OUEST-NORD-SUD
-pour p = 0 alors le point est situé sur l'EQUATEUR
-pour p dans l'intervalle de 0 à PI/2 ( avec 0 non compris) alors le point est situé au NORD
et si en plus p = PI/2 alors le point est situé au pôle NORD
-pour p dans l'intervalle de -PI/2 à 0 ( 0 non compris) alors le point est situé au SUD
et si en plus p = -PI/2 alors le point est situé au pôle SUD
-pour q = 0 ou q = PI alors le point est situé sur le méridien de partage EST-OUEST
pour q = 0 alors le point est situé sur le méridien de Greenwitch le méridien 0°
pour q = PI alors le point est situé sur le méridien de changement de date le méridien 180°
-pour q dans l'intervalle de 0 à PI ( avec 0 et PI non compris) alors le point est situé à l'EST
-pour q dans l'intervalle de -PI à 0 ( avec 0 et PI non compris) alors le point est situé à l'OUEST
-pour déterminer les coordonnées restantes on applique les formules de transformations angulaires
la valeur p servant à déterminer la lattitude et la valeur q servant à déterminer la longitude
3b) le triplet de valeurs (a,b,c) pour toute position d'un point sur la terre
-à tout couple (p,q) qui correspond donc à la position d'un point donné sur la terre on détermine le triplet de valeur (a,b,c)
a = cos(p) . cos(q)
b = cos(p) . sin(q)
c = sin(p)
-à tout triplet (a,b,c) qui correspond donc à la position d'un point donné sur la terre on détermine le couple (p,q)
-lorsque c = 0 on obtiens: p = 0
-lorsque c > 0 on obtiens: p = arccos( \/( a^2 + b^2 / a^2 + b^2 + c^2 ) )
-lorsque c < 0 on obtiens: p = -arccos( \/( a^2 + b^2 / a^2 + b^2 + c^2 ) )
-lorsque a = 0 et b = 0 on obtiens: q = 0
-lorsque a > 0 et b = 0 on obtiens: q = 0
-lorsque a < 0 et b = 0 on obtiens: q = PI
-lorsque b > 0 on obtiens: q = arccos( a / \/( a^2 + b^2 ) )
-lorsque b < 0 on obtiens: q = -arccos( a / \/( a^2 + b^2 ) )
3c)points identiques et points aux antipodes
on considère deux points A et B à ceux-ci sont associés deux triplets respectivement (a1,a2,a3) et (b1,b2,b3)
-lorsque ces deux points correspondent au même lieu on obtiens :
a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 - \/( (a1 ^2 + a2 ^2 + a3 ^2).(b1 ^2 + b2 ^2 + b3 ^2) ) = 0
dans ce cas on vérifie :
arccos ( (a1.b1 + a2.b2 + a3.b3) / \/( (a1 ^2 + a2 ^2 + a3 ^2).(b1 ^2 + b2 ^2 + b3 ^2) ) ) = 0°
-lorsque ces deux points sont aux antipodes l'un de l'autre on obtiens :
a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 + \/( (a1 ^2 + a2 ^2 + a3 ^2).(b1 ^2 + b2 ^2 + b3 ^2) ) = 0
dans ce cas on vérifie :
arccos ( (a1.b1 + a2.b2 + a3.b3) / \/( (a1 ^2 + a2 ^2 + a3 ^2).(b1 ^2 + b2 ^2 + b3 ^2) ) ) = 180°
3d)formulations de géometrie euclidienne
on considère l'espace vectoriel euclidien tridimentionnel
les éléments de cet espace sont des vecteurs qui s'écrivent comme un triplet V = (v1,v2,v3) où V désigne le vecteur et les vi sont les composantes du vecteur V
ces vi sont des nombres réels
la norme du vecteur V s'obtiens selon ||V|| = \/( v1 ^2 + v2 ^2 + v3 ^2 )
lorsque V est un vecteur nul on obtiens
v1 = 0
v2 = 0
v3 = 0
||V|| = 0
lorsque V est un vecteur unitaire on obtiens ||V|| = 1
Soient deux vecteurs V = (v1,v2,v3) et W = (w1,w2,w3)
le produit scalaire V.W = v1.w1 + v2.w2 + v3.w3
le produit vectoriel X = V /\ W = (x1,x2,x3) selon
x1 = v2.w3 - v3.w2
x2 = v3.w1 - v1.w3
x3 = v1.w2 - v2.w1
on considère V et W sont des vecteurs non nuls alors :
l'angle formé par ces deux vecteurs V et W est donné selon : arccos ( V.W / ||V||.||W|| )
lorsque les deux vecteurs V et W sont orthogonaux on obtiens :
V.W = 0 et arccos ( V.W / ||V||.||W|| ) = 90°
lorsque les deux vecteurs V et W ont même direction et sens on obtiens :
V.W - \/(V^2.W^2) = 0
lorsque les deux vecteurs V et W ont même direction mais de sens opposés on obtiens :
V.W + \/(V^2.W^2) = 0
lorsque les deux vecteurs V et W ne sont pas colinéaires alors ils n'ont pas la même direction
Soient ces vecteurs V et W tels qu'ils soient unitaires et non colinéaires alors en posant :
X0 = V^2.W - (V.W).V
X = X0 / ||X0||
Y = V /\ X
on vérifie :
V.X = 0
V.Y = 0
X.Y = 0
W.Y = 0
||Y|| = 1
par ailleurs on considère un vecteur non nul Z = (z1,z2,z3) en plus de ces deux vecteurs non colinéaires V et W alors lorsque
( v3.w2 - v2.w3 ).z1 + ( v1.w3 - v3.w1 ).z2 + ( v2.w1 - v1.w2 ).z3 = 0 alors ces trois vecteurs V,W,Z sont coplanaires
Soient deux couples de vecteurs non nuls (V,W) et (V',W') et tels que :
V et W ne sont pas colinéaires et de même V' et W' ne sont pas colinéaires
alors l'angle formé par les deux plans définis par les deux couples (V,W) et (V',W') est donné par l'expression
arccos ( X.X' / ||X||.||X'|| ) avec X = V /\ W et X' = V' /\ W'
3e)les calculs proprements dits
on dispose donc des coordonnées de deux points A et B
le point A étant le point de départ du voyageur et le point B le point sur lequel passerait le voyageur si il ne s'arrête pas
on recherche la distance D qui désigne la distance la plus courte sur la terre entre les deux points A et B
par ailleurs on recherche le point C qui désigne le point sur lequel se trouve le voyageur après avoir parcouru une distance d
soit dans la direction du plus court chemin qui mène au point B soit dans la direction opposée
et enfin on recherche l'angle formé entre le grand cercle sur lequel le "voyage" par rapport à l'équateur
pour ce qui est de la géographie des lieux on peut tout simplement rechercher sur un Atlas ou sur Google Earth
Mode opératoire
Opération I
[ préliminaire ]
on détermine les couples (p,q) et (p',q') et les triplets (a,b,c) et (a',b',c') qui correspondent respectivements aux deux points A et B
Opération II
[ vérification que les points A et B sont différents et ne sont pas aux antipodes l'un de l'autre ]
-lorsque ces deux points correspondent au même lieu on obtiens :
a.a' + b.b' + c.c' - \/( (a^2 + b^2 + c^2).(a'^2 + b'^2 + c'^2) ) = 0
dans ce cas on vérifie :
arccos ( (a.a' + b.b' + c.c') / \/( (a^2 + b^2 + c^2).(a'^2 + b'^2 + c'^2) ) ) = 0°
-lorsque ces deux points sont aux antipodes l'un de l'autre on obtiens :
a.a' + b.b' + c.c' + \/( (a^2 + b^2 + c^2).(a'^2 + b'^2 + c'^2) ) = 0
dans ce cas on vérifie :
arccos ( (a.a' + b.b' + c.c') / \/( (a^2 + b^2 + c^2).(a'^2 + b'^2 + c'^2) ) ) = 180°
Opération III
[ recherche de la distance D ]
on détermine la valeur u = a.a' + b.b' + c.c'
on determine la valeur D qui donne la distance la plus courte sur la terre entre les deux points A et B selon
D = r.arccos( u )
Opération IV
[ recherche du point C ]
lorsque d = 0 alors le déplacement du voyageur est nul le point C est donc le même que le point A (mais ce n'est pas la seule condition
effectivement c'est la cas si il effectue le tour complet de la terre cela restera à verifier dans ce qui suit)
lorsque d n'est pas nul on détermine un certain nombres de valeurs qui au final nous donnera le triplet (a",b",c")
et par les transformations déjà décrites le couple (p",q") qui correspond au point C que l'on recherche
pour ce faire on dispose déjà d'une premiere valeur u
on pose la valeur t = a^2 + b^2 + c^2
puis on pose le triplet (a1,b1,c1) selon
a1 = t.a' - u.a
b1 = t.b' - u.b
c1 = t.c' - u.c
puis on pose la valeur w = \/ ( a1 ^2 + b1 ^2 + c1 ^2 )
puis on pose le triplet (a0,b0,c0) selon
a0 = a1 / w
b0 = b1 / w
c0 = c1 / w
on vérifie a.a0 + b.b0 + c.c0 = 0
puis on pose la valeur v selon
lorsque la direction du voyageur est celle qui va dans la direction du plus court chemin qui mène au point B alors on pose v = d / r sinon on pose v = -d / r
puis on pose la valeur v0 selon
-lorsque v = PI on obtiens v0 = PI
-lorsque v < PI on obtiens on obtiens v0 = v + 2.PI.[ PI-v / 2.PI ]
-lorsque v > PI et qu'en plus v-PI - 2.Pi.[ v-PI / 2.PI ] = 0
alors v0 = PI sinon v0 = v - 2.PI - 2.PI.[ v-PI / 2.PI ]
on obtiens enfin le triplet (a",b",c") recherché selon
a" = cos(v0).a + sin(v0).a0
b" = cos(v0).b + sin(v0).b0
c" = cos(v0).c + sin(v0).c0
on applique alors les tranformations afin d'obtenir la position du voyageur quand il a parcouru le distance d et selon la direction choisie
Opération V
[ on recherche l'angle formé entre le grand cercle sur lequel le "voyage" par rapport à l'équateur ]
on pose les vecteurs X et X' selon :
X = (x1,x2,x3) = (a,b,c) /\ (a0,b0,c0)
x1 = (b.c0) - (c.b0)
x2 = (c.a0) - (a.c0)
x3 = (a.b0) - (b.a0)
X'= (0,0,1)
on pose m = arccos ( X.X' / ||X||.||X'|| )
lorsque m est superieur à 90° on obtiens :
angle = 180°- m
sinon on obtiens angle = m
Sujet: La révélation des pyramides: Voyage mathématique sur cercle mystérieux 
Lun 11 Mar - 5:42
